并查集

并查集数据结构是对一组分成多个不相交的子集元素的处理，并查集又称为不相交集。

到底是神马意思？举个例子，并查集是用来处理下面集合合并和查询：

[ a, b, f, k ]
[ e ]
[ g, d, c ]
[ i, j ]

这些集合是不相交的，因为它们没有共同的成员。

并查集支持三种基本操作：

Find(A)：找到 A 在那个子集中。比如 find(d) 函数返回 [g, d, c ] 。
Union(A, B)：把某两个集合 A 和 B 合成一个子集。比如 union(d, j) 需要将 [ g, d, c ] 和 [ i, j ] 合并成一个大的集合[ g, d, c, i, j ]。
AddSet(A)：生成一个只包含 A 新子集。如 addSet(h) 生成一个新集合 [ h ]。

该数据结构最常用于查询无向图中的节点。它也能用于提高 Kruskal 算法的效率，用于查找图中最小生成树。

代码实现

并查集有很多实现方法，下面用一种相对简单高效的方式实现：加权Quick-Union。

PS：可以在 playground 中找到并查集的多种实现方式

public struct UnionFind<T: Hashable> {
  private var index = [T: Int]()
  private var parent = [Int]()
  private var size = [Int]()
}

这里并查集数据结构实际是森林，每个子集用树表示。

由于目标只是保持对每个树节父点的联系，不需要联系子节点，可以通过一个父节点的数组来表示，parent[ i ] 表示第 i 个父节点。

举例：如果父节点数组像这样

parent [ 1, 1, 1, 0, 2, 0, 6, 6, 6 ]
     i   0  1  2  3  4  5  6  7  8

树的结构如下：

      1              6
    /   \           / \
  0       2        7   8
 / \     /
3   5   4

森林中有两棵树，每棵对应一组元素集合。（备注：这里是因为受制于 ASCII 表达形式所以用二叉树表示的，实际情况并不局限于此）。

每个子集使用唯一的数字来标示。子集合树的根节点作为索引，如 1 是第一棵树的根节点， 6 是第二棵树的根节点。

在这个例子中有两个子集，第一个代表值为 1 ，第二个为 6 。Find 函数返回的是子集的代表值，而不是它的内部数据。

注意 parent[] 中根节点指向自己，如 parent[1] = 1 和 parent[6] = 6 ，可以通过这个方法可以发现那些是根节点。

添加

从添加开始，看看如何实现一些基本操作：

public mutating func addSetWith(_ element: T) {
  index[element] = parent.count  // 1
  parent.append(parent.count)    // 2
  size.append(1)                 // 3
}

当添加一个新元素，实际是添加一个包含该元素的集合。

保存新元素的索引到 index 字典中。可以帮助快速查找该元素。
添加索引到 parent 数组中并为这个集合新建一个树。由于这个新集合只包含一个值，而且该值为树的根节点，所以parent[i] 指向自己。
size[i] 是索引值为 i 根节点处的节点个数。对于新集合因为只含一个元素所以值为 1 。在随后的合并操作中会用到 size 这个数组。

查找

经常需要查找某个元素是否在集合中， Find 函数就是干这个事滴！在 并查集 中又称为 setof():

public mutating func setOf(_ element: T) -> Int? {
  if let indexOfElement = index[element] {
    return setByIndex(indexOfElement)
  } else {
    return nil
  }
}

先通过 index 字典来查找某个元素的索引值，再用一个函数来查找该元素属于哪个集合:

private mutating func setByIndex(_ index: Int) -> Int {
  if parent[index] == index {  // 1
    return index
  } else {
    parent[index] = setByIndex(parent[index])  // 2
    return parent[index]       // 3
  }
}

既然和树打交道了就用递归的方法来解决吧。

回顾一下，每个集合用一棵树来表示，根节点的索引值为集合的代表值。查找该元素所属树的根节点，并返回它的索引值。

第一步先检查输入的 index 值是否是根节点。（根节点的 parent 指回自己），如果是，结束查找。
否则，递归调用当前节点的父节点方法。接下来的是非常重要的一步：重写当前节点的父节点为根节点，实际就是将节点重新连接到根节点上。当下次在调用这个方法的时候速度就快了，因为到根节点的路径非常短了。如果没有这个优化这个方法的复杂度为 O(n)，但经过路径压缩后（在合并环节）复杂度接近 O(1)。
返回根节点作为结果。

这里有一个图形化的解释，让我们来看看：

BeforeFind

调用 setOf(4) 试试看，为了查到根节点，需要先访问 2 节点，然后再访问 7 节点。（索引值用红色数字标示）。

调用 setOf(4) 后，树结构如下：

AfterFind

现在若再调用 setOf(4) ，不需要再经过节点 2 才能到根节点。因此在使用并查集数据结构的时候会自优化，是不是很酷！

这里有个便捷的方法可以判断两个元素是不是在一个集合中：

public mutating func inSameSet(_ firstElement: T, and secondElement: T) -> Bool {
  if let firstSet = setOf(firstElement), let secondSet = setOf(secondElement) {
    return firstSet == secondSet
  } else {
    return false
  }
}

因为调用了 sefOf() 方法也会优化树结构。

合并（权重）

最后的操作是 合并 就是将两个集合合并成一个大的集合。

    public mutating func unionSetsContaining(_ firstElement: T, and secondElement: T) {
        if let firstSet = setOf(firstElement), let secondSet = setOf(secondElement) { // 1
            if firstSet != secondSet {                // 2
                if size[firstSet] < size[secondSet] { // 3
                    parent[firstSet] = secondSet      // 4
                    size[secondSet] += size[firstSet] // 5
                } else {
                    parent[secondSet] = firstSet
                    size[firstSet] += size[secondSet]
                }
            }
        }
    }

计算过程如下：

给出两个集合，这两个集合都有一个根节点的索引值存在 parent 数组中。
判断是不是相同的集合，合并两个相同的集合没有任何意义。
以大小作为权重进行优化，如果想让树的深度尽可能的保持最小，需要把小的树添加到大的树上。通过比较两个树的数组个数决定那个树更小。
下面将小一些的树添加到大一些树的根节点。
因为增加一堆新的树节点，需要更新大树的元素个数值。

为了更好介绍这个算法，举个例子说明一下，有两个集合，每个集合的树的数据结构如下：

BeforeUnion

现在调用方法 unionSetsContaining(4, and: 3) 将小一些的树添加到大一些的树上：

AfterUnion

因为在开始的时候调用了 setOf() ，所以大一些的树仍然会走优化流程 — 节点 3 直接挂到根节点上。

合并的优化的复杂度也为 O(1)。

路径压缩

private mutating func setByIndex(_ index: Int) -> Int {
    if index != parent[index] {
        // Updating parent index while looking up the index of parent.
        parent[index] = setByIndex(parent[index])
    }
    return parent[index]
}

路径压缩能够使树不断变平坦，因此查找复杂度几乎接近 O(1)。

复杂度总结

处理 N 个元素

N个元素中做M次并集

算法	最坏的情况
Quick Find	M N
Quick Union	M N
Weighted Quick Union	N + M lgN
Weighted Quick Union + Path Compression	(M + N) lgN

可以继续查看源码中的其他算法的工作原理。还可以看Union-Find at Wikipedia。

作者Artur Antonov, 审核 Yi Ding . 译者KeithMorning。

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Swift 数据结构与算法学院！翻译自https://github.com/raywenderlich/swift-algorithm-club

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